一元二次方程解法的导学案
一元二次方程解法的导学案
学习目标
1、了解形如（x＋m）2= n（n≥0）的一元二次方程的解法 —— 直接开平方法
2、会用直接开平方法解一元二次方程
学习重点：会用直接开平方法解一元二次方程
学习难点：理解直接开平方法与平方根的定义的关系
教学过程
一、情境引入：
1。 我们曾学习过平方根的意义及其性质，现在回忆一下：什么叫做平方根？平方根有哪些性质？
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。用式子表示：若x2=a，则x叫做a的平方根。记作x= ，即x= 或x= 。
如：9的平方根是±3， 的平方根是
平方根有下列性质：
（1）一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的；
（2）零的平方根是零；
（3）负数没有平方根。
2如何解方程（1）x2=4，（2）x2—2=0呢？
二、探究学习：
1．尝试：
（1）根据平方根的意义， x是4的平方根，∴x＝±2
即此一元二次方程的解（或根）为： x1=2，x2 =－2
（2）移项，得x2=2
根据平方根的意义， x就是2的平方根，∴x=
即此一元二次方程的解（或根）为： x1= ，x2 =
2．概括总结．
什么叫直接开平方法？
像解x2=4，x2—2=0这样，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
说明：运用“直接开平方法”解一元二次方程的过程，就是把方程化为形如x2=a（a≥0）或（x+h）2=k（k≥0）的形式，然后再根据平方根的意义求解
3。概念巩固：
已知一元二次方程mx2+n=0（m≠0），若方程可以用直接开平方法求解，且有两个实数根，则m、n必须满足的条是（ ）
A。n=0 B。m、n异号 C。n是m的整数倍 D。m、n同号
4。典型例题：
例1解下列方程
（1）x2—1。21=0 （2）4x2—1=0
解：（1）移向，得x2=1。21 （2）移向，得4x2=1
∵x是1。21的平方根 两边都除以4，得x2=
∴x=±1。1 ∵x是 的平方根
即 x1=1。1，x2=—1。1 ∴x=
即x1= ，x2=
例2解下列方程：
⑴ （x＋1）2= 2 ⑵ （x－1）2－4 = 0
⑶ 12（3－2x）2－3 = 0
分析：第1小题中只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解；第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1小题一样地解；第3小题先将－3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以—2即可。
解：（1）∵x+1是2的平方根
∴x+1=
即x1=—1+ ，x2=—1—
（2）移项，得（x—1）2=4
∵x—1是4的平方根
∴x—1=±2
即x1=3，x2=—1
（3）移项，得12（3—2x）2=3
两边都除以12，得（3—2x）2=0。25
∵3—2x是0。25的平方根
∴3—2x=±0。5
即3—2x=0。5，3—2x=—0。5
∴x1= ，x2=
例3解方程（2x－1）2=（x－2）2
分析：如果把2x—1看成是（x—2）2的平方根，同样可以用直接开平方法求解
解：2x—1=
即2x—1=±（x—2）
∴2x—1=x—2或2x—1=—x+2
即x1=—1，x2=1
5。探究：（1）能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？
如果一个一元二次方程具有（x＋h）2= k（k≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解。
（2）用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解
（3）任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明
6。巩固练习：
（1）下列解方程的过程中，正确的是（ ）
①x2=—2，解方程，得x=±
②（x—2）2=4，解方程，得x—2=2，x=4
③4（x—1）2=9，解方程，得4（x—1）= ±3， x1= ;x2=
④（2x+3）2=25，解方程，得2x+3=±5， x1= 1;x2=—4
（2）解下列方程：
①x2=16 ②x2—0。81=0 ③9x2=4 ④y2—144=0
（3）解下列方程：
①（x—1）2=4 ②（x+2）2=3
③（x—4）2—25=0 ④（2x+3）2—5=0
⑤（2x—1）2=（3—x）2
（4）一个球的表面积是100 cm2，求这个球的半径。（球的表面积s=4 R2，其中R是球半径）
三、归纳总结：
1、不等关系在日常生活中普遍存在。
2、用不等号表示不等关系的式子叫做不等式。
3、列不等式表示不等关系。
4。2一元二次方程的解法（ 1）
【后作业】
班级 姓名 学号
1、用直接开平方法解方程（x＋h）2=k ，方程必须满足的条是（ ）
A．k≥o B．h≥o C．hk＞o D．k＜o
2、方程（1—x）2=2的根是（ ）
A。—1、3 B。1、—3 C。1— 、1+ D。 —1、 +1
3、解下例方程
（1）36－x2＝0； （2）4x2=9 （3）3x2－ ＝0 （4）（2x+1）2—3=0
（5）81（x—2）2=16 ； （6）（2x－1）2=（x－2）2 （7） =0（a≥0） （8）（ax+c）2=d（a≠0，d≥0）
4。便民商店1月份的利润是2500元，3月份的利润为3025元，这两个月利润的平均月增长的百分率是多少？