完全平方数练习题
完全平方数练习题1
1、一个数与2940的积是完全平方数,那么这个数最小是()。
2、已知1×2×3×……×n+3是一个自然数的平方,n=( )。
3、有两个两位数,它们的差是56,它们的平方数末两位数字相同,这两个两位数分别是()。
4、一个四位数的数码都是由非零的偶数码构成,它又恰好是某个偶数码组成的数的平方,则这个四位数是()。
5、有一个自然数,它与168的和恰好等于某个数的平方;它与100的和恰好等于另一个数的平方,这个数是()。
完全平方数练习题2
奥数是一种理性的精神,使人类的思维得以运用到最完善的'程度.让我们一起来阅读关于完全平方数的数论练习,感受奥数的奇异世界!
1、一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数,求此数。
解:设此自然数为x,依题意可得
x-45=m^2;(1)
x+44=n^2(2)
(m,n为自然数)
(2)-(1)可得:
n^2-m^2=89或:(n-m)(n+m)=89
因为n+m>n-m
又因为89为质数,
所以:n+m=89;n-m=1
解之,得n=45。代入(2)得。故所求的自然数是1981。
2、求证:四个连续的整数的积加上1,等于一个奇数的平方(1954年基辅数学竞赛题)。
分析设四个连续的整数为,其中n为整数。欲证
是一奇数的平方,只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。
证明设这四个整数之积加上1为m,则
m为平方数
而n(n+1)是两个连续整数的积,所以是偶数;又因为2n+1是奇数,因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。
3、求证:11,111,1111,这串数中没有完全平方数(1972年基辅数学竞赛题)。
分析形如的数若是完全平方数,必是末位为1或9的数的平方,即
或
在两端同时减去1之后即可推出矛盾。
证明若,则
因为左端为奇数,右端为偶数,所以左右两端不相等。
若,则
因为左端为奇数,右端为偶数,所以左右两端不相等。
综上所述,不可能是完全平方数。
另证由为奇数知,若它为完全平方数,则只能是奇数的平方。但已证过,奇数的平方其十位数字必是偶数,而十位上的数字为1,所以不是完全平方数。
4、求满足下列条件的所有自然数:
(1)它是四位数。
(2)被22除余数为5。
(3)它是完全平方数。
解:设,其中n,N为自然数,可知N为奇数。
11|N-4或11|N+4
或
k=1
k=2
k=3
k=4
k=5
所以此自然数为1369,2601,3481,5329,6561,9025。
5、甲、乙两人合养了n头羊,而每头羊的卖价又恰为n元,全部卖完后,两人分钱方法如下:先由甲拿十元,再由乙拿十元,如此轮流,拿到最后,剩下不足十元,轮到乙拿去。为了平均分配,甲应该补给乙多少元(第2届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题)?
解:n头羊的总价为元,由题意知元中含有奇数个10元,即完全平方数的十位数字是奇数。如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6。所以,的末位数字为6,即乙最后拿的是6元,从而为平均分配,甲应补给乙2元。
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