线性代数知识点总结

时间:2023-05-26 18:51:05 总结 我要投稿
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线性代数知识点总结

  线性代数是数学的一个分支,它的研究对象是向量,向量空间,线性变换和有限维的线性方程组。下面是小编想跟大家分享的线性代数知识点总结,欢迎大家浏览。

线性代数知识点总结

  线性代数知识点总结 篇1

  第一章行列式

  知识点1:行列式、逆序数

  知识点2:余子式、代数余子式

  知识点3:行列式的性质

  知识点4:行列式按一行(列)展开公式

  知识点5:计算行列式的方法

  知识点6:克拉默法则

  第二章矩阵

  知识点7:矩阵的概念、线性运算及运算律

  知识点8:矩阵的乘法运算及运算律

  知识点9:计算方阵的幂

  知识点10:转置矩阵及运算律

  知识点11:伴随矩阵及其性质

  知识点12:逆矩阵及运算律

  知识点13:矩阵可逆的判断

  知识点14:方阵的行列式运算及特殊类型的矩阵的运算

  知识点15:矩阵方程的求解

  知识点16:初等变换的概念及其应用

  知识点17:初等方阵的概念

  知识点18:初等变换与初等方阵的关系

  知识点19:等价矩阵的概念与判断

  知识点20:矩阵的子式与最高阶非零子式

  知识点21:矩阵的秩的概念与判断

  知识点22:矩阵的.秩的性质与定理

  知识点23:分块矩阵的概念与运算、特殊分块阵的运算

  知识点24:矩阵分块在解题中的技巧举例

  第三章向量

  知识点25:向量的概念及运算

  知识点26:向量的线性组合与线性表示

  知识点27:向量组之间的线性表示及等价

  知识点28:向量组线性相关与线性无关的概念

  知识点29:线性表示与线性相关性的关系

  知识点30:线性相关性的判别法

  知识点31:向量组的最大线性无关组和向量组的秩的概念

  知识点32:矩阵的秩与向量组的秩的关系

  知识点33:求向量组的最大无关组

  知识点34:有关向量组的定理的综合运用

  知识点35:内积的概念及性质

  知识点36:正交向量组正交阵及其性质

  知识点37:向量组的正交规范化、施密特正交化方法

  知识点38:向量空间(数一)

  知识点39:基变换与过渡矩阵(数一)

  知识点40:基变换下的坐标变换(数一)

  第四章 线性方程组

  知识点41:齐次线性方程组解的性质与结构

  知识点42:非齐次方程组解的性质及结构

  知识点43:非齐次线性线性方程组解的各种情形

  知识点44:用初等行变换求解线性方程组

  知识点45:线性方程组的公共解、同解

  知识点46:方程组、矩阵方程与矩阵的乘法运算的关系

  知识点47:方程组、矩阵与向量之间的联系及其解题技巧举例

  第五章矩阵的特征值与特征向量

  知识点48:特征值与特征向量的概念与性质

  知识点49:特征值和特征向量的求解

  知识点50:相似矩阵的概念及性质

  知识点51:矩阵的相似对角化

  知识点52:实对称矩阵的相似对角化.

  知识点53:利用相似对角化求矩阵和矩阵的幂

  第六章二次型

  知识点54:二次型及其矩阵表示

  知识点55:矩阵的合同

  知识点56 : 矩阵的等价、相似与合同的关系

  知识点57:二次型的标准形

  知识点58:用正交变换化二次型为标准形

  知识点59:用配方法化二次型为标准形

  知识点60:正定二次型的概念及判断

  线性代数知识点总结 篇2

  行列式

  一、行列式概念和性质

  1、逆序数:所有的逆序的总数

  2、行列式定义:不同行不同列元素乘积代数和

  3、行列式性质:(用于化简行列式)

  (1)行列互换(转置),行列式的值不变

  (2)两行(列)互换,行列式变号

  (3)提公因式:行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式

  (4)拆列分配:行列式中如果某一行(列)的元素都是两组数之和,那么这个行列式就等于两个行列式之和。

  (5)一行(列)乘k加到另一行(列),行列式的值不变。

  (6)两行成比例,行列式的值为0。

  二、重要行列式

  1、上(下)三角(主对角线)行列式的值等于主对角线元素的乘积

  2、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘

  3、Laplace展开式:(A是m阶矩阵,B是n阶矩阵),则


  4、n阶(n≥2)范德蒙德行列式


  ★5、对角线的元素为a,其余元素为b的行列式的值:


  三、按行(列)展开

  1、按行展开定理:

  (1)任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值

  (2)行列式中某一行(列)各个元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于0

  四、克莱姆法则

  1、克莱姆法则:

  (1)非齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么方程为唯一解

  (2)如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解,则它的系数行列式必为0

  (3)若齐次线性方程组的系数行列式不为0,则齐次线性方程组只有0解;如果方程组有非零解,那么必有D=0。


  矩阵

  一、矩阵的运算

  1、矩阵乘法注意事项:

  (1)矩阵乘法要求前列后行一致;

  (2)矩阵乘法不满足交换律;(因式分解的公式对矩阵不适用,但若B=E,O,A-1,A*,f(A)时,可以用交换律)

  (3)AB=O不能推出A=O或B=O。

  二、矩阵的逆运算

  1、逆的求法:

  (1)A为抽象矩阵:由定义或性质求解

  (2)A为数字矩阵:(A|E)→初等行变换→(E|A-1)

  三、矩阵的初等变换

  1、初等行(列)变换定义:

  (1)两行(列)互换;

  (2)一行(列)乘非零常数c

  (3)一行(列)乘k加到另一行(列)

  ★四、矩阵的秩

  1、秩的定义:非零子式的最高阶数

  注:

  (1)r(A)=0意味着所有元素为0,即A=O

  (2)r(An×n)=n(满秩)←→|A|≠0←→A可逆;r(A)<n←→|A|=0←→A不可逆;

  (3)r(A)=r(r=1、2、…、n-1)←→r阶子式非零且所有r+1子式均为0。

  2、秩的求法:

  (1)A为抽象矩阵:由定义或性质求解;

  (2)A为数字矩阵:A→初等行变换→阶梯型(每行第一个非零元素下面的元素均为0),则r(A)=非零行的行数

  五、伴随矩阵

  六、分块矩阵

  1、分块矩阵的乘法:要求前列后行分法相同。

  2、分块矩阵求逆:


  向量

  一、向量的概念及运算

  1、长度定义:||α||=

  二、线性组合和线性表示

  1、线性表示的`充要条件:

  非零列向量β可由α1,α2,…,αs线性表示

  (1)←→非齐次线性方程组(α1,α2,…,αs)(x1,x2,…,xs)T=β有解。

  ★(2)←→r(α1,α2,…,αs)=r(α1,α2,…,αs,β)(系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,用于大题第一步的检验)

  2、线性表示的充分条件:

  若α1,α2,…,αs线性无关,α1,α2,…,αs,β线性相关,则β可由α1,α2,…,αs线性表示。

  3、线性表示的求法:(大题第二步)

  设α1,α2,…,αs线性无关,β可由其线性表示。

  (α1,α2,…,αs|β)→初等行变换→(行最简形|系数)

  行最简形:每行第一个非0的数为1,其余元素均为0

  三、线性相关和线性无关

  1、线性相关注意事项:

  (1)α线性相关←→α=0

  (2)α1,α2线性相关←→α1,α2成比例

  2、线性相关的充要条件:

  向量组α1,α2,…,αs线性相关

  (1)←→有个向量可由其余向量线性表示;

  (2)←→齐次方程(α1,α2,…,αs)(x1,x2,…,xs)T=0有非零解;

  ★(3)←→r(α1,α2,…,αs)<s 即秩小于个数

  3、线性相关的充分条件:

  (1)向量组含有零向量或成比例的向量必相关

  (4)以少表多,多必相关

  ★推论:n+1个n维向量一定线性相关

  4、线性无关的充要条件:

  向量组α1,α2,…,αs线性无关

  (1)←→任意向量均不能由其余向量线性表示;

  (2)←→齐次方程(α1,α2,…,αs)(x1,x2,…,xs)T=0只有零解

  (3)←→r(α1,α2,…,αs)=s

  特别地,n个n维向量α1,α2,…,αn线性无关

  ←→r(α1,α2,…,αn)=n ←→|α1,α2,…,αn |≠0 ←→矩阵可逆

  5、线性无关的充分条件:

  (1)整体无关,部分无关

  (2)低维无关,高维无关

  (3)正交的非零向量组线性无关

  (4)不同特征值的特征向量无关

  6、线性相关、线性无关判定

  (1)定义法

  ★(2)秩:若小于阶数,线性相关;若等于阶数,线性无关

  四、极大线性无关组与向量组的秩

  1、极大线性无关组不唯一

  2、向量组的秩:极大无关组中向量的个数成为向量组的秩

  对比:矩阵的秩:非零子式的最高阶数

  ★注:

  向量组α1,α2,…,αs的秩与矩阵A=(α1,α2,…,αs)的秩相等

  ★3、极大线性无关组的求法

  (1)α1,α2,…,αs为抽象的:定义法

  (2)α1,α2,…,αs为数字的:(α1,α2,…,αs)→初等行变换→阶梯型矩阵

  则每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组

  五、Schmidt正交化

  1、Schmidt正交化

  设α1,α2,α3线性无关

  (1)正交化

  令β1=α1


  (2)单位化


  线性方程组

  一、解的判定与性质

  1、齐次方程组:

  (1)只有零解←→r(A)=n(n为A的列数或是未知数x的个数)

  (2)有非零解←→r(A)<n

  2、非齐次方程组:

  (1)无解←→r(A)<r(A|b)←→r(A)=r(A)-1

  (2)唯一解←→r(A)=r(A|b)=n

  (3)无穷多解←→r(A)=r(A|b)<n

  3、解的性质:

  (1)若ξ1,ξ2是Ax=0的解,则k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解

  (2)若ξ是Ax=0的解,η是Ax=b的解,则ξ+η是Ax=b的解

  (3)若η1,η2是Ax=b的解,则η1-η2是Ax=0的解

  二、基础解系

  ★1、重要结论:(证明也很重要)

  设A是m×n阶矩阵,B是n×s阶矩阵,AB=O

  (1)B的列向量均为方程Ax=0的解

  (2)r(A)+r(B)≤n

  2、总结:基础解系的求法

  (1)A为抽象的:由定义或性质凑n-r(A)个线性无关的解

  (2)A为数字的:A→初等行变换→阶梯型

  自由未知量分别取1,0,0;0,1,0;0,0,1;代入解得非自由未知量得到基础解系

  三、解的结构(通解)

  1、齐次线性方程组的通解(所有解)

  设r(A)=r,ξ1,ξ2,…,ξn-r为Ax=0的基础解系,

  则Ax=0的通解为k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r (其中k1,k2,…,kn-r为任意常数)

  2、非齐次线性方程组的通解

  设r(A)=r,ξ1,ξ2,…,ξn-r为Ax=0的基础解系,η为Ax=b的特解,

  则Ax=b的通解为η+ k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r (其中k1,k2,…,kn-r为任意常数)

  特征值与特征向量

  一、矩阵的特征值与特征向量

  1、特征值、特征向量的定义:

  设A为n阶矩阵,如果存在数λ及非零列向量α,使得Aα=λα,称α是矩阵A属于特征值λ的特征向量。

  2、特征多项式、特征方程的定义:

  |λE-A|称为矩阵A的特征多项式(λ的n次多项式)。

  |λE-A |=0称为矩阵A的特征方程(λ的n次方程)。

  注:特征方程可以写为|A-λE|=0

  3、重要结论:

  (1)若α为齐次方程Ax=0的非零解,则Aα=0·α,即α为矩阵A特征值λ=0的特征向量

  (2)A的各行元素和为k,则(1,1,…,1)T为特征值为k的特征向量。

  (3)上(下)三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素。

  △4、总结:特征值与特征向量的求法

  (1)A为抽象的:由定义或性质凑

  (2)A为数字的:由特征方程法求解

  5、特征方程法:

  (1)解特征方程|λE-A|=0,得矩阵A的n个特征值λ1,λ2,…,λn

  注:n次方程必须有n个根(可有多重根,写作λ1=λ2=…=λs=实数,不能省略)

  (2)解齐次方程(λiE-A)=0,得属于特征值λi的线性无关的特征向量,即其基础解系(共n-r(λiE-A)个解)

  二、相似矩阵

  1、相似矩阵的定义:

  设A、B均为n阶矩阵,如果存在可逆矩阵P使得B=P-1AP,称A与B相似,记作A~B

  2、相似矩阵的性质

  (1)若A与B相似,则f(A)与f(B)相似

  (2)若A与B相似,B与C相似,则A与C相似

  (3)相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹(即主对角线元素之和)

  三、矩阵的相似对角化

  1、相似对角化定义:如果A与对角矩阵相似,即存在可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ=


  称A可相似对角化。

  2、相似对角化的充要条件

  (1)A有n个线性无关的特征向量

  (2)A的k重特征值有k个线性无关的特征向量

  3、相似对角化的充分条件:

  (1)A有n个不同的特征值(不同特征值的特征向量线性无关)

  (2)A为实对称矩阵

  4、重要结论:

  (1)若A可相似对角化,则r(A)为非零特征值的个数,n-r(A)为零特征值的个数

  (2)若A不可相似对角化,r(A)不一定为非零特征值的个数

  四、实对称矩阵

  1、性质

  (1)特征值全为实数

  (2)不同特征值的特征向量正交

  (3)A可相似对角化,即存在可逆矩阵P使得P-1AP=Λ

  (4)A可正交相似对角化,即存在正交矩阵Q,使得Q-1AQ=QTAQ=Λ

  二次型

  一、二次型及其标准形

  1、二次型:

  (1)一般形式

  (2)矩阵形式(常用)

  2、标准形:

  如果二次型只含平方项,这样的二次型称为标准形(对角线)

  3、二次型化为标准形的方法:

  (1)配方法:

  ★(2)正交变换法:

  二、惯性定理及规范形

  1、定义:

  正惯性指数:标准形中正平方项的个数称为正惯性指数,记为p;

  负惯性指数:标准形中负平方项的个数称为负惯性指数,记为q;

  2、惯性定理:

  二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形,其正负惯性指数不变。

  注:

  (1)由于正负惯性指数不变,所以规范形唯一。

  (2)p=正特征值的个数,q=负特征值的个数,p+q=非零特征值的个数=r(A)

  三、合同矩阵

  1、定义:

  A、B均为n阶实对称矩阵,若存在可逆矩阵C,使得B=CTAC,称A与B合同

  △2、总结:n阶实对称矩阵A、B的关系

  (1)A、B相似(B=P-1AP)←→相同的特征值

  (2)A、B合同(B=CTAC)←→相同的正负惯性指数←→相同的正负特征值的个数

  (3)A、B等价(B=PAQ)←→r(A)=r(B)

  注:实对称矩阵相似必合同,合同必等价

  四、正定二次型与正定矩阵

  1、正定的定义

  二次型xTAx,如果任意x≠0,恒有xTAx>0,则称二次型正定,并称实对称矩阵A是正定矩阵。

  2、n元二次型xTAx正定充要条件:

  (1)A的正惯性指数为n

  (2)A与E合同,即存在可逆矩阵C,使得A=CTC或CTAC=E

  (3)A的特征值均大于0

  (4)A的顺序主子式均大于0(k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式)

  3、总结:二次型正定判定(大题)

  (1)A为数字:顺序主子式均大于0

  (2)A为抽象:①证A为实对称矩阵:AT=A;②再由定义或特征值判定

  4、重要结论:

  (1)若A是正定矩阵,则kA(k>0),Ak,AT,A-1,A*正定

  (2)若A、B均为正定矩阵,则A+B正定

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